همبستگی[1]: یک پارامتر مرتبط با کواریانس است، که نشان‌دهنده گرایش دو متغیر تصادفی به حرکت هم‌جهت یا مخالف جهت همدیگر است.

کوارایانس[2] و همبستگی متغیرهایی مرتبط با هم هستند که نشان ‌می‌دهند دو متغیر تصادفی تا چه‌میزان با یکدیگر حرکت می‌کنند. فرض کنید سهام دو شرکت فن‌آوری وجود دارد. اگر این دو سهم تحت تاثیر روند یک صنعت مشابه باشند، قیمت آن‌ها تمایل دارد که هم‌زمان افزایش یا کاهش یابد. به عبارت دیگر این دو سهم همراه باهم نوسان می‌کنند. کواریانس و همبستگی، این حرکت هم‌زمان با هم را اندازه می‌گیرند.

فرض کنید بردار تصادفی X متشکل از متغیرهای تصادفی Xi است:

برای هر جفت از متغیرهای Xi و Xj این بردار، کواریانس این متغیرها به‌صور  یت COV(Xi,Xj) یا i,j∑ نمایش داده می‌شود. کواریانس را می‌توان با استفاده از امید ریاضی نشان داد:

در این‌جا iµ و jµ میانگین[3] متغیرهای Xi و Xj است. کواریانس یک مفهوم متقارن است یعنی برای دو متغیر Xi و Xj داریم .  COV(Xi,Xj)= COV(Xj,Xi). همچنین کواریانس متغیر Xi با خودش برابر با واریانس[4] متغیر Xi است:

می‌توان کواریانس متغیرهای بردار X را در قالب ماتریس کواریانس ذیل نوشت:

به دلیل ویژگی متقارن‌بودن کواریانس‌ها، ماتریس فوق لزوما یک ماتریس متقارن است. می‌توان نشان داد که ماتریس‌های کوارایانس اکیدا مثبت[5] یا شبه اکید مثبت[6] هستند.

شدت کواریانس i,j∑ به انحراف معیار[7] دو متغیر Xi و Xj بستگی دارد. برای به‌دست‌آوردن معیاری بهتر از حرکت همزمان دو متغیر تصادفی، مقیاس کواریانس را به منظور محاسبه همبستگی تغییر می‌دهند.

همبستگی متغیرهای Xi و Xj را با COR(Xi,Xj) یا i,jρ  نشان می‌دهند. حال همبستگی به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

که در این‌جا σi و σj انحراف معیار متغیرهای Xi و Xj است. همبستگی همواره مقداری بین 1 و 1- است. همبستگی نیز دارای ویژگی متقارن بودن است یعنی داریم  j,iρ=i,jρ. زمانی که   ρi,j=1 بدین معناست که دو متغیر تصادفی کاملا در جهت همدیگر حرکت می‌کنند. در صورتی که دو متغیر از هم مستقل باشند، همبستگی آن‌ها برابر با صفر است. البته عکس حالت فوق درست نیست. همانند کواریانس در این‌جا نیز می‌توان همبستگی‌های بین تمام متغیرهای بردار تصادفیX  را در ماتریس همبستگی زیر خلاصه کرد:

 

همانند کواریانس، ماتریس‌های همبستگی نیز اکیدا مثبت یا شبه اکید مثبت هستند.

[1] Correlation
[2] Covariance
[3] Means
[4] Variance
[5] Positive Definite
[6] Positive Semidefinite
[7] Standard Deviations